Essa é boa!
Essa é muito boa! Exercite-se.
Uma colônia de formigas dobra de tamanho a cada hora e leva 36 horas para cobrir toda a área de um campo. Quantas horas levariam para cobrir metade do campo?
Se as formigas dobrem de tamanho a cada hora e cobrem o campo completo em 36 horas, então no dia ? (), elas teriam coberto metade da área, já que dobram de tamanho a cada hora.
Portanto, a resposta é ? horas para cobrir metade do campo.
Resolução do problema:
Explicação simples:
Imagine que as formigas começam em uma parte muito pequena do campo e, a cada hora, elas vão dobrando de tamanho. Então, se elas cobrem uma parte pequena do campo agora, na próxima hora, vão cobrir o dobro de espaço, e assim por diante. Isso significa que, conforme o tempo passa, elas vão dominando cada vez mais espaço no campo.
Sabemos que 36 horas é o tempo total necessário para que as formigas cubram todo o campo. Mas a pergunta é: quanto tempo elas levariam para cobrir metade do campo?
A resposta é mais simples do que parece: 35 horas! Isso acontece porque, como as formigas estão dobrando de tamanho a cada hora, 1 hora antes de cobrir o campo inteiro, elas já teriam coberto metade dele. Isso é o que acontece quando a população de formigas dobra a cada hora — em uma hora, o número de formigas aumenta tão rápido que elas cobrem tudo de uma vez. Então, 1 hora antes de cobrir o campo inteiro, elas já tinham coberto metade dele.
Vamos resolver o problema de maneira clara e com todas as etapas bem explicadas.
Entendimento do problema:
Temos uma colônia de formigas que dobra de tamanho a cada hora e leva 36 horas para cobrir todo o campo. A questão pede para determinar quantas horas elas levariam para cobrir metade do campo.
Para isso, vamos utilizar a ideia de crescimento exponencial, já que a população de formigas cresce dobrando a cada hora.
Passo 1: Definir a situação e a fórmula do crescimento exponencial
Sabemos que, em 36 horas, as formigas cobrem o campo inteiro. Como a população dobra a cada hora, podemos modelar esse crescimento com a fórmula exponencial:
P(t)= P0 * 2t
Onde:
- P0 é o número inicial de formigas (no instante t = 0),
- t é o número de horas,
- P(t) é o número de formigas no instante t.
Passo 2: Analisar o que acontece em 36 horas
Em 36 horas, a população das formigas atingirá o número necessário para cobrir todo o campo, ou seja:
P(36)= P0 * 236
Ou seja, no momento t=36, a população é igual a P0 * 236, que é a quantidade de formigas que cobre o campo todo.
Passo 3: Quando as formigas cobrem metade do campo?
Como as formigas dobram de tamanho a cada hora, isso significa que uma hora antes de cobrir o campo inteiro, ou seja, em 35 horas, elas terão coberto metade do campo. Isso acontece porque, se a população dobra de tamanho em uma hora, a população em 35 horas será metade da população em 36 horas.
Ou seja, em t=35, a população será metade de P(36):
P(35) = P(36)/2 = (P0 * 236 )/2 = P0 * 235
Conclusão:
Portanto, para cobrir metade do campo, as formigas levariam 35 horas, porque uma hora depois (em 36 horas) elas teriam coberto o campo inteiro.
Resumo da solução:
- Em 36 horas, a população de formigas cobre todo o campo.
- Como a população dobra a cada hora, em 35 horas a população terá coberto metade do campo.
Logo, a resposta é que as formigas levariam 35 horas para cobrir metade do campo.
