Juros compostos
Claro, vou fornecer um exemplo de exercício resolvido sobre juros compostos.
Exemplo:
Suponha que você investiu R$ 1.000,00 a uma taxa de juros compostos de 5% ao mês. Quanto você terá após 3 meses?
Fórmula dos juros compostos:
A = P(1 + r%)t
onde:
- (A) é o montante final,
- (P) é o capital inicial,
- (r) é a taxa de juros por período,
- (t) é o número de períodos.
Resolução:
Dado que (P = 1000), (r = 5), e (t = 3), podemos calcular (A).
A = 1000(1 + 5/100)3
A = 1000(1 + 0,05)3
A = 1000 ( 1,157625)
A = 1157,63
Portanto, após 3 meses, o montante final será aproximadamente R$ 1.157,63.
Espero que isso ajude! Se você tiver mais perguntas ou precisar de outro exemplo, sinta-se à vontade para perguntar.
Certamente! Aqui está um resumo de exercícios resolvidos de juros compostos:
Exercício 1:
Você investiu R$ 5.000,00 a uma taxa de juros compostos de 8% ao ano. Calcule o montante final após 2 anos.
Resolução:
A = P(1 + r/100)t
A = 5000(1 + 8/100)2
A = 5000 ( 1,1664)
A= 5832,00
Portanto, o montante final após 2 anos será aproximadamente R$ 5.832,00.
Exercício 2:
Você emprestou R$ 3.000,00 a uma taxa de juros compostos de 6% ao trimestre. Determine quanto você deve pagar ao final de 1 ano.
Resolução:
A = P(1 + r/100)t
A = 3000(1 + 6/100)4
A = 3000 ( 1,265319)
A= 3795,95
Portanto, ao final de 1 ano, você deverá pagar aproximadamente R$ 3.795,95.
Exercício 3:
Se um empréstimo de R$ 8.000,00 é concedido a uma taxa de juros compostos de 10% ao semestre, calcule o montante após 3 semestres.
Resolução:
A = P(1 + r/100)t
A = 8000(1 + 10/100)3
A = 8000( 1,331 )
A =10.648
Portanto, o montante após 3 semestres será aproximadamente R$ 10.648,00.
Esses são exemplos básicos de exercícios resolvidos de juros compostos. Se precisar de mais exemplos ou tiver alguma dúvida específica, estou à disposição!
Exercício 4:
Suponha que você investiu R$ 12.000,00 a uma taxa de juros compostos de 7% ao ano. Se o investimento dobrar em um determinado período, quanto tempo levará para atingir esse resultado?
Resolução:
A = P(1 +r/100)t
Neste caso, queremos que (A) seja o dobro do capital inicial (P). Assim, temos a equação:
2P = P(1 + 7/100)t
Simplificando:
2 = (1 + 7/100)t
Usando logaritmos para isolar (t):
t = log(2)log(1 + 7/100)
Calculando, obtemos (t = 10,24) anos.
Portanto, levará aproximadamente 10,24 anos para que o investimento dobre a uma taxa de 7% ao ano.
Exercício 6:
Você deseja ter R$ 150.000,00 daqui a 5 anos e está considerando investir em um fundo que oferece juros compostos de 9% ao ano. Qual deve ser o capital inicial investido?
Resolução:
A = P (1 + r/100)t
Neste caso, conhecemos A = 150000, r = 9, e t = 5. Queremos encontrar P.
150000 = P(1 + 9/100)5
P = 150000(1 + 9/100)5
Calculando, obtemos o valor de P.
Exercício 9:
Suponha que você tenha a opção de pagar à vista com um desconto de 10% no valor total da televisão. Qual seria o valor à vista? valor original= 2.500,00
Resolução:
Se o pagamento à vista tem um desconto de 10%, então o valor à vista seria (90\%) do valor original.
Valor à vista} = 0,9.(2.500,00)
Valor à vista = 2.250,00
Portanto, o valor à vista, com desconto, seria R$ 2250,00.
Esses exercícios abordam situações comuns de compras à prazo, envolvendo cálculos de juros compostos e descontos. Se tiver mais perguntas ou precisar de mais exemplos, sinta-se à vontade para pedir!
Juros compostos com logarítmo:
Vamos resolver um exercício de juros compostos utilizando logaritmo. A fórmula dos juros compostos é (M = C \cdot (1 + i)t), e para encontrar o tempo ((t)), usaremos logaritmos. Aqui está um exemplo:
Exercício:
Você investiu R$ 10.000,00 a uma taxa de juros de 6% ao ano. Após quantos anos você terá R$ 15.000,00?
Solução:
[ C = 10000, i = 0,06, M = 15000
A fórmula dos juros compostos é (M = C (1 + i)t. Neste caso, queremos resolver para (t):
15000 = 10000(1 + 0,06)t
Para isolar (t), aplicamos logaritmo natural (ln) em ambos os lados da equação:
15000 = 10000(1 + 0,06)t
Usando a propriedade dos logaritmos log(a.b) = log(a) + \log(b)):
log(15000) = log(10000) + log(1 + 0,06)t
Isolamos log(1 + 0,06)t
log(1 + 0,06)t = log(15000) – log(10000) ]
Aplicamos a propriedade log(a.b) = loga+logb
log(1 + 0,06) = log(15000) – log(10000) ]
Finalmente, isolamos (t):
t = log(15000) – log(10000)/(1 + 0,06)
Agora, basta calcular essa expressão para obter o valor de (t).
Para calcular a expressão log(15,000) – log(10,000)/(1 + 0,06), você pode seguir estes passos:
- Calcule os logaritmos naturais:
log(15,000) approx 9.615805
log(10,000) approx 9.210340
log(1 + 0,06) approx 0,058269 - Substitua esses valores na fórmula:
9.615805 – 9.210340/0.058269 - Calcule o numerador:
9.615805 – 9.210340 \approx 0.405465 - Divida pelo denominador:
0.405465/0.058269 = 6.969755
Portanto, a expressão log(15,000) – log(10,000)/log(1 + 0,06) é aproximadamente igual a 6.969755. Isso representa o tempo (t) em anos para que o investimento atinja o montante de R$ 15.000,00 com uma taxa de juros de 6% ao ano.
Certamente, vou fornecer um exemplo de exercício resolvido de juros compostos usando logaritmo:
Exercício:
Você investiu R$ 8.000,00 a uma taxa de juros de 7% ao mês. Após quantos meses você terá R$ 12.000,00?
Solução:
A fórmula dos juros compostos é M = C (1 + i)t, onde:
- (C) é o capital inicial (R$ 8.000,00),
- (i) é a taxa de juros por mês (7% ou 0,07),
- (t) é o tempo em meses, e
- (M) é o montante desejado (R$ 12.000,00).
12.000 = 8.000 (1 + 0,07)t
Usaremos logaritmos para resolver para (t):
log(12.000) = log(8.000(1 + 0,07)t
Aplicamos a propriedade log(a.b) = log(a) +log(b):
log(12.000) = log(8.000) +log(1 + 0,07)t
Isolamos log(1 + 0,07)t:
[log(1 + 0,07)t = log(12.000) -log(8.000)
log(1 + 0,07) = log(12.000) – log(8.000)
Finalmente, isolamos (t):
t = log(12.000) – log(8.000)/log(1 + 0,07)
Calculamos os logaritmos e substituímos os valores:
t = 4,07918 – 3,90309/0,01878
t =0,17609/0,01878
[ t = 9,38 ]
Portanto, você terá R$ 12.000,00 após aproximadamente 9,38 meses.
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Em uma determinada cidade, a taxa de crescimento populacional é de 3% ao ano, aproximadamente. Em quantos anos a população dessa cidade dobrará, se a taxa de crescimento continuar a mesma?
População do ano-base = P0
População após um ano = P0·(1,03) = P1
População após dois anos = P0·(1,03)2= P2
População após x anos = P0·(1,03)x = Px
Suponha que a população dobrará em relação ao ano-base após x anos, então, temos:
Px = 2·P0
P0·(1,03)x = 2·P0
1,03x = 2
Aplicando logaritmo:
log 1,03x = log 2
x·log 1,03 = log2
x·0,0128 = 0,3010
x = 0,3010 / 0,0128
x = 23,5
A população dobrará em aproximadamente 23,5 anos.
